大学の哲学の授業で一瞬触れられた「アキレスと亀」パラドックス。

これ（激遅亀と爆速アキレスが競走する。亀はハンデとしてアキレスより先の地点からスタート。アキレスが亀のいる地点に到着した時には亀は先に進んでおり、さらにアキレスが亀の進んだ先に到着した時には亀はさらに先に進んでいる。このことが繰り返されるため、アキレスはいつまで経っても亀には追い付けない。）について授業の質問フォーラムで質問があったため、投稿してみた。

あらかじめ書いたmarkdownがmoodle（大学で使ってる授業管理？サイト）のフォーラムで読み込まれず書き直す羽目になった上、改行しまくりの文章になったまま制限時間（いる？）が終わり、ちょっと嫌だった。。改行嫌いなのに大好きみたいじゃん。。言い回しも、わかりやすさとウザさの狭間で悩んだ。ほんとの数学の人が読んだら怒られそうな気が。。無限の概念って本当に難しいです。

以下はそのコピペ。

↓（氏名大公開）の返信

数学メジャーではないですが、アキレスと亀の話を数学用語を使わずにやさしく説明してみたいと思ったので、投稿させてもらいます。

アキレスと亀の話は、実は、「数字を無限回足したらどうなるかな？」という議論なのです。

アキレスは亀に追いつけないと予想した人は（そんな人いないだろうけど）、「数字を無限回足したらその和sumは無限大になるだろう」と考えていることになります。でけえ数字を無限に足したらそりゃあ無限大になるでしょうね。でも、「だんだん超絶ちっちゃくなっていく数字を無限に足したら、それも無限大になるのでしょうか」？

こう質問されたら戸惑うかもしれませんが、アキレスは亀に追いつけると直感的に知っている私たちは、「だんだん超絶ちっちゃくなっていく数字を無限回足しても無限大にならない」と無意識に知っているということになるのです。

以下に、算数的に具体値を使って説明を書いてみます。具体値のところは適当に読み飛ばしてください。その下にもっと直感的そうな文を書いたのでそこを読んでもらえると嬉しいです。

一歩ずつ考えると。。

アキレスが100mを10秒、亀が20mを10秒で走れるとします（アキレス10m/s、亀2m/s）。（亀速すぎてすみません。。w）

一斉に競走します。亀はアキレスのスタート地点の100m先から走り出すとしましょう。

アキレスが最初に亀が立っていた地点につくまでに、100mなので当然ながら10秒かかりますね。そしてその10秒で亀はそこから20m進んだ、地点Aに移っているわけです。

アキレスは亀に追いつくために、次に地点Aに到着する必要がありますよね。地点Aに着くまでには、あと20mですから、2秒かかります。でもそのうちに、亀はさらに4m先の地点Bまで逃げているのです。

めんどくさいですが一応もう一段階。Bまではあと4m。アキレスは0.4秒かかります。そのうちに亀はもうちょびっと先まで。。このように、この話は無限回繰り返されるのです。え、じゃあ追いつけないじゃん！

結論から言うとそんなことはありません。

ここでアキレスが亀に追いつくまでの時間を式に起こすと

10+2+0.4+0.08+0.016…となります私の計算があってればですけど。（数学的に呼ぶと、初項10、項比1/5の無限等比級数です。）

ためしに、前から1個ずつ順番に足してみます。

10です

12ですね

12.4ですよ

12.48ですわ

12.496だ（あれれ続けても無限どころか13までいかなそう。。）

この式の正しい結果は、無限等比級数の和の公式で超簡単に求めることができ、無限大にはならないとすぐわかります。まあでもそんなことしなくても、小学生の算数、旅人算で、アキレスは亀に追いつくまで、100÷(10-2)=12.5秒だってすぐわかりますよね。「だんだん超絶ちっちゃくなっていく数字を無限回足してみたら全然無限じゃない普通の数字になった。数字を無限回足したら無限大になるとは限らない。だからアキレスは亀に追いつけるんだよ」ということです。

アキレスと亀のパラドックスの「アキレスは亀に追いつけない」において根本的に間違っていた点は、「話が無限回繰り返される」ことではありません。この話は無限回繰り返される、それは間違っていないのです。。話が無限回繰り返される＝アキレスは亀に追いつけない、というイコールが間違っているのです。ここが直感的じゃないので、悩みます。あれ、スッキリした気がしても、また混乱してきますね。。。w

無限について考えるのに直感的かもな説明

無限の概念を理解しようとするときによく例に出される式があります。1わる3かける3です。

1÷3は、分数で表すと1/3です。小数だと無限小数になります。0.333333….ですね。

これに3をかけてみましょう。あれ、同じ数字に同じ計算をしたのに、1と0.9999999999….になっちゃいました。それでは、1=0.9999999…..なのでしょうか？

この等式は、実は成り立つのです。1=0.9999999…..であっています。

0.999999999…は無限に続く数字ですが、無限ではありません。1なのです。

話が無限回繰り返されますが、アキレスは亀に追いつけます。

なんか似てますよね。わかったような気がしませんか。。？

詳しくはwebで。（wikipediaリンク）

読んでくれた人ありがとうございます。もしなんかの助けにちょっとなってたら嬉しいです。